Die Gurke

By Aufgaben One Comment

„Eine bekannte Testaufgabe mit Kultstatus“

Eine Gurke besteht zu 90% aus Wasser und wiegt 500 g.
Nach einigen Tagen in der Küche ist ein Teil des Wassers verdunstet und die Gurke besteht nur noch zu 80% aus Wasser. Wie schwer ist sie dann?

Benötigte Mathematik:
1. Prozentrechnung: Berechnung eines Prozentwertes aus Grundwert und Prozentsatz.
2. Prozentrechnung: Berechnung eines Grundwertes aus Prozentwert und Prozentsatz.

Ein Taschenrechner hilft hier nicht. Man muss etwas denken.
Die Aufgabe bereitet oft Schwierigkeiten. Für die achte Klasse ist sie wohl zu schwer.

Der Grund: man benötigt auch etwas mathematische Erfahrung und Phantasie.

Man macht einen kleinen gedanklichen Umweg und argumentiert mit etwas, das in der Aufgabe nicht ausdrücklich erwähnt ist.

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Quelle: Die Aufgabe ist aus dem Anhang zu einem unbedingt lesenswerten sogenannten „Offenen Brief“ von vielen Mathematikprofessoren
an das Bundesministerium für Bildung und Forschung und weitere Empfänger vom März 2017 mit dem Titel:
„Mathematikunterricht und Kompetenzorientierung“. Er ist z. B. zu finden an der
Technischen Hochschule Mittelhessen in Gießen,
https://homepages.thm.de/~frkr77/downloads/BriefOFFENERzumMathematikunterricht.pdf auf Seite 9, Aufgabe 25b).

Der Brief ist eine Beschwerde über das nicht ausreichende mathematische Vorwissen von Studienanfängern.
Im Anhang sind Aufgaben, die Studenten des Bauingenieurwesens gegeben wurden.
Für deren Lösungen werden benötigt: Bruchrechnung, Potenzrechnung und Logarithmen, Gleichungsumformungen,
Quadrieren, Binomische Formeln, Strahlensatz (Aufgabe 24), Sinus und Cosinus, Satz des Pythagoras, Kenntnis der ersten Pythagoreischen Zahlentripel.
Alles Themen der Gymnasialklassen 7 bis 10 (bis auf den letzten Punkt, der in Schulen kaum noch behandelt wird).

ABER: Es gilt, diese Ideen und Techniken in geeigneter Weise miteinander zu kombinieren.
Dazu braucht es Übung und Erfahrung und ein bisschen Knobeln. Das Sprechen über Lösungsideen kann sehr helfen.

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Die Gurkenaufgabe haben im Juli 2017 in Frankfurt von 110 Studenten 87 bearbeitet.
Fünf haben sie richtig gelöst (siehe obiger Link Seite 8).

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Hinweis:
Die Gurke besteht aus Wasser und aus Nicht-Wasser — nennen wir das Gurkenstoff.
Das Wasser verdunstet, es wird weniger. Der Gurkenstoff verdunstet nicht. Seine Masse bleibt dieselbe.

Die Idee der Aufgabe hat sogar eine eigene Wikipedia-Seite: „Kartoffelparadoxon“.

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Links:
https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Tripel
https://de.wikipedia.org/wiki/Kartoffelparadoxon

Wieviel kostet das Pferd?

By Aufgaben One Comment

Seltsame Aufgaben gibt es nicht nur in heutigen Schulbüchern.
Auch früher schon wurden mathematische Ideen in befremdliche Alltagssituationen eingekleidet.

Leonhard Euler (1707 bis 1783) schrieb 1770/71 in Sankt Petersburg ein Lehrbuch
„Vollständige Anleitung zur Algebra“ in zwei Teilen.
Darin gibt er viele Übungsaufgaben.
Textabschnitt 419 (in meiner Ausgabe bei Philipp Reclam jun. Leipzig 1920 Seite 163, in älterer Rechtschreibung)

„Aufgabe. Jemand kauft ein Pferd unter der Bedingung, daß er für den ersten Hufnagel 5 Groschen,
für den zweiten 8, für den dritten 11, und immer 3 Groschen mehr für jeden folgenden zahlen soll.
Es sind aber im Ganzen 32 Nägel vorhanden. Wieviel muß er für das Pferd bezahlen?“

Ein Reichsthaler hatte im 18. Jahrhundert 24 Groschen zu 12 Pfennigen, also 1 Rthlr = 288 Pf.
Wieviel Reichsthaler und Groschen kostet das Pferd?

Im 19. Jahrhundert galt: 1 Thaler = 30 Groschen. Wieviel Thaler und Groschen sind es dann?

In der Ausgabe St. Petersburg 1771, S. 193:
„Frage. Jemand kauft ein Pferd mit dieser Bedingung; für den ersten Hufnagel zahlt er 5 Copeken,
für den zweyten 8, für den dritten 11, und immer 3 Copeken mehr für einen jeden folgenden.
Es sind aber in allem 32 Nägel, Wie theuer kommt ihm das Pferd zu stehen?“

In Russland hatte man schon seit Zar Peter dem Großen (1672 bis 1725) das moderne Dezimalsystem: 1 Rubel = 100 Kopeken.
Wieviel kostet das Pferd in Rubel und Kopeken?

Nebenbemerkung:
In Deutschland wurde das Dezimalsystem etwas später, 1871, eingeführt: 1 Mark = 100 Pfennig
In Großbritannien erst 1971, davor galt: 1 Pound = 20 Shillings = 240 Pence

Hinweis:
Wieviel kostet der letzte Hufnagel?
Der erste kostet 5, dann noch 31-mal 3 dazu, das ergibt 98 Groschen.

Nun kann man geduldig addieren: 5 + 8 + 11 + ….. + 98

Das ist ein Weg für die Grundschule.
Mit dem Taschenrechner hat man auf diesem Weg ein paar Gelegenheiten, sich zu vertippen.
Es geht auch schlauer. Leider werden „Folgen und Reihen“ kaum noch in der Schule behandelt.

So geht’s besser:
Wieviel kosten der erste und der letzte Nagel zusammen?
Wieviel der zweite und der vorletzte zusammen?
Wieviel der dritte und der vorvorletzte?
Na ja, und immer so weiter.
Wieviele Paare von Nägeln gibt es?

Links:

https://archive.org/details/bub_gb_nfYGAAAAcAAJ/page/n211
https://de.wikipedia.org/wiki/Groschen
https://de.wikipedia.org/wiki/Taler
http://eulerarchive.maa.org//pages/E387.html
http://eulerarchive.maa.org//docs/originals/E387abschrift3.pdf S. 163

Reclam 1920 und 1942, Fußnote S. 219: „Der Thaler wurde 1766 mit 24 Groschen berechnet“

Sechs mal die

By Aufgaben One Comment

Die die die die die Diesellokomotive geklaut haben anzeigen werden belohnt.

Hier fehlen vier Kommas. Wo müssen sie stehen, damit ein sprachlich korrekter Satz entsteht?

Aufgabe (ab etwa 8. oder 9. Klasse): Gib für die ersten fünf „die“ jeweils die Wortart und den Kasus an.

Quelle für den Satz: mein Griechischlehrer H. Hölk
(Der Lehrer sagte, es gebe noch so einen Satz: Der der der der der Derwisch … – Aber der sei nicht jugendfrei. Seitdem grübel ich, wie der Satz weitergehen mag.)